"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS

Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.

(1) SEDE/ (2) CEDE

(1) Estabelecimento principal (lemos séde); necessidade de beber (lemos sêde). -> Ex: Vou à sede amanhã / Estou com sede.
(2) Verbo ceder, abrir mão de algo, desistir ou dar (lemos céde, igual à pronúncia de estabelecimento principal). -> Ex: Ele não me cede aquele livro.